Görev 4

\(X\) sonlu büyüklüğü \(k\) olan sonlu bir küme olsun. \(A\), \(S=((x_1, y_1), \ldots, (x_m, y_m)) \in (X \times \{0,1\})^m\) örneklemi üzerinde aşağıdaki özelliğe sahip bir fonksiyon \(A(S)\) üreten bir öğrenici olsun:

Eğer \(x=x_i\) olacak şekilde bir \(i \in \{1, \ldots, m\}\) varsa, o zaman \(A(S)(x)= y_i\),

Eğer \(x \notin \{x_1, \ldots, x_m\}\) ise, o zaman \(A(S)(x)\), \(\{0,1\}\) kümesindeki her bir etiket için \(1/2\) olasılıkla rastgele seçilir.

Bir \(f: X \to \{0,1\}\) fonksiyonu verildiğinde, \(X \times \{0,1\}\) üzerinde bir \((U,f)\) olasılık dağılımını, her \((x, f(x))\) çifti için olasılığı \(1/k\) ve \((x,y) \notin \{(x, f(x)): x \in X\}\) olan her çift için olasılığı 0 olacak şekilde tanımlayın.

Her \(f: X \to \{0,1\}\) ve \(S=((x_1, f(x_1)), \ldots, (x_m, f(x_m)))\) için

\[L_{(U,f)}(A(S)) -L_S(A(S)) \geq \frac{(k-m)}{2k}.\]

[Toplam 7 puan]