Bài 4

Giả sử \(X\) là một tập hữu hạn có kích thước hữu hạn \(k\). Gọi \(A\) là một thuật toán học mà trên mẫu \(S=((x_1, y_1), \ldots, (x_m, y_m)) \in (X \times \{0,1\})^m\) cho ra một hàm \(A(S)\) sao cho:

Nếu \(x=x_i\) với một \(i \in \{1, \ldots, m\}\) nào đó thì \(A(S)(x)= y_i\),

Nếu \(x \notin \{x_1, \ldots, x_m\}\) thì \(A(S)(x)\) được chọn ngẫu nhiên với xác suất \(1/2\) cho mỗi nhãn trong \(\{0,1\}\).

Cho một hàm \(f: X \to \{0,1\}\), hãy định nghĩa một phân phối xác suất \((U,f)\) trên \(X \times \{0,1\}\) bằng cách gán xác suất \(1/k\) cho mỗi cặp \((x, f(x))\) và xác suất 0 cho mọi \((x,y) \notin \{(x, f(x)): x \in X\}\).

Hãy chứng minh rằng với mọi \(f: X \to \{0,1\}\) và \(S=((x_1, f(x_1)), \ldots, (x_m, f(x_m)))\),

\[L_{(U,f)}(A(S)) -L_S(A(S)) \geq \frac{(k-m)}{2k}.\]

[Tổng 7 điểm]