Detyra 7
  1. Shprehni distancën e imazhit të një pike \(\mathbf{x}\) nga qendra e masës së një grupi shembujsh
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    në një hapësirë veçorish të përcaktuar nga kerneli \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) në terma të vlerësimeve të kernelit.

[2 pikë]

  1. Duke përdorur rezultatin nga pika 1, jepni pseudokodin për algoritmin e detektimit të risisë (novelty detection) që e etiketon një pikë testuese si të re (novel) nëse ajo bie jashtë sferës më të vogël me qendër në qendrën e masës që përmban të gjitha të dhënat e trajnimit.

[3 pikë]

  1. Tregoni se nëse heqim një pikë \(\mathbf{x}_j\) nga \(S\), qendra e masës largohet nga \(\phi(\mathbf{x}_j)\) përgjatë vijës nga \(\phi(\mathbf{x}_j)\) nëpër qendrën e masës me \(\frac{1}{m-1}\) herë distancën mes tyre.

[3 pikë]

  1. Tregoni, si rrjedhojë ose në një mënyrë tjetër, se metoda e zbulimit të risisë që përdor të njëjtin qendër si te pika 2 më sipër, por rrit rrezen e sferës me \(\frac{m}{m-2}\), siguron që gabimi "leave one out" (ndodh një gabim nëse pika e lënë jashtë nuk është brenda sferës) në grupin e trajnimit është maksimumi 1.

[5 Marks]

[Total 13 marks]