Tâche 7
  1. Exprimez la distance entre l’image d’un point \(\mathbf{x}\) et le centre de masse d’un ensemble d’exemples
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    dans un espace de caractéristiques défini par le noyau \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) en termes d’évaluations du noyau.

[2 points]

  1. En utilisant le résultat de la question 1, donnez un pseudocode pour l’algorithme de détection de nouveauté qui étiquette un point de test comme nouveau s’il se situe en dehors de la plus petite sphère, centrée au centre de masse, qui contient toutes les données d’entraînement.

[3 points]

  1. Montrez que si l’on retire un point \(\mathbf{x}_j\) de \(S\), le centre de masse s’éloigne de \(\phi(\mathbf{x}_j)\) le long de la droite allant de \(\phi(\mathbf{x}_j)\) vers le centre de masse, d’une quantité égale à \(\frac{1}{m-1}\) fois la distance qui les sépare.

[3 points]

  1. En déduire, ou montrer autrement, que la méthode de détection de nouveauté utilisant le même centre que dans la question 2 ci-dessus, mais en augmentant le rayon de la sphère de \(\frac{m}{m-2}\), garantit que l’erreur leave-one-out (une erreur se produit si le point laissé de côté n’est pas à l’intérieur de la sphère) sur le jeu d’entraînement est au plus égale à 1.

[5 points]

[Total 13 points]