7. feladat
  1. Fejezd ki egy \(\mathbf{x}\) pont képének távolságát az alábbi példahalmaz tömegközéppontjától
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    egy olyan jellemzőtérben, amelyet a \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) kernel definiál, a kernelkiértékelések segítségével.

[2 pont]

  1. Az 1. pont eredményét felhasználva adj pszeudokódot az újdonságdetektáló algoritmushoz, amely egy tesztpontot újszerűnek címkéz, ha az kívül esik a tömegközépponttal középpontú legkisebb gömbön, amely tartalmazza az összes tanítóadatot.

[3 pont]

  1. Mutasd meg, hogy ha eltávolítunk egy \(\mathbf{x}_j\) pontot \(S\)-ből, a tömegközéppont eltávolodik \(\phi(\mathbf{x}_j)\)-től azon az egyenesen, amely \(\phi(\mathbf{x}_j)\)-n át halad és a tömegközépponton keresztül fut, mégpedig a kettőjük közötti távolság \(\frac{1}{m-1}\)-szeresével.

[3 pont]

  1. Ebből következően, vagy más módon, mutasd meg, hogy az újdonságdetektáló módszer — amely a 2. pontban szereplővel azonos középpontot használ, de a gömb sugarát \(\frac{m}{m-2}\)-szeresére növeli — biztosítja, hogy a leave-one-out hiba (hiba akkor történik, ha a kihagyott pont nincs a gömbön belül) a tanítóhalmazon legfeljebb 1 legyen.

[5 pont]

[Összesen 13 pont]