Esercizio 7
  1. Esprimere la distanza dell’immagine di un punto \(\mathbf{x}\) dal centro di massa di un insieme di esempi
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    in uno spazio delle caratteristiche definito dal kernel \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) in termini di valutazioni del kernel.

[2 punti]

  1. Usando il risultato del punto 1, fornire del pseudocodice per l’algoritmo di rilevamento della novità che etichetta un punto di test come “nuovo” se si trova al di fuori della più piccola sfera centrata nel centro di massa che contiene tutti i dati di addestramento.

[3 punti]

  1. Mostrare che, se rimuoviamo un punto \(\mathbf{x}_j\) da \(S\), il centro di massa si sposta allontanandosi da \(\phi(\mathbf{x}_j)\) lungo la retta che va da \(\phi(\mathbf{x}_j)\) attraverso il centro di massa di un fattore pari a \(\frac{1}{m-1}\) della distanza tra i due.

[3 punti]

  1. Quindi, oppure in altro modo, mostrare che il metodo di rilevamento della novità, usando lo stesso centro del punto 2 precedente ma aumentando il raggio della sfera di \(\frac{m}{m-2}\), garantisce che l’errore leave-one-out (si verifica un errore se il punto lasciato fuori non è all’interno della sfera) sul training set sia al più 1.

[5 punti]

[Totale 13 punti]