Задача 7
  1. Изразете го растојанието на сликата на точка \(\mathbf{x}\) од центарот на маса на множеството примери
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    во простор на карактеристики дефиниран со кернел \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) во термини на кернел-евалуации.

[2 поени]

  1. Користејќи го резултатот од точка 1, дајте псевдокод за алгоритмот за детекција на новина што означува тест точка како нова ако лежи надвор од најмалата сфера со центар во центарот на маса што ги содржи сите податоци за тренирање.

[3 поени]

  1. Покажете дека ако отстраниме една точка \(\mathbf{x}_j\) од \(S\), центарот на маса се поместува подалеку од \(\phi(\mathbf{x}_j)\) по правата од \(\phi(\mathbf{x}_j)\) низ центарот на маса за \(\frac{1}{m-1}\) пати растојанието меѓу нив.

[3 поени]

  1. Оттука или на друг начин покажете дека методот за детекција на новина користејќи го истиот центар како во точка 2 погоре, но зголемувајќи го радиусот на сферата за \(\frac{m}{m-2}\), осигурува дека leave-one-out грешката (грешка се случува ако изоставената точка не е внатре во сферата) на тренинг сетот е најмногу 1.

[5 поени]

[Вкупно 13 поени]