Zadanie 7
  1. Wyraź odległość obrazu punktu \(\mathbf{x}\) od środka masy zbioru przykładów
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    w przestrzeni cech zdefiniowanej przez jądro \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) w postaci obliczeń jądra.

[2 punkty]

  1. Korzystając z wyniku z punktu 1., podaj pseudokod algorytmu wykrywania nowości, który oznacza punkt testowy jako nowy (novel), jeśli znajduje się on poza najmniejszą sferą o środku w środku masy, zawierającą wszystkie dane treningowe.

[3 punkty]

  1. Pokaż, że jeśli usuniemy jeden punkt \(\mathbf{x}_j\) ze zbioru \(S\), to środek masy przesuwa się od \(\phi(\mathbf{x}_j)\) wzdłuż prostej przechodzącej przez \(\phi(\mathbf{x}_j)\) i środek masy o \(\frac{1}{m-1}\) odległości między nimi.

[3 punkty]

  1. Na tej podstawie lub w inny sposób pokaż, że metoda wykrywania nowości, wykorzystująca ten sam środek co w punkcie 2., lecz zwiększająca promień sfery o \(\frac{m}{m-2}\), zapewnia, że błąd leave-one-out (błąd występuje, jeśli pominięty punkt nie znajduje się wewnątrz sfery) na zbiorze treningowym jest co najwyżej równy 1.

[5 punktów]

[Łącznie 13 punktów]