Sarcina 7
  1. Exprimați distanța dintre imaginea unui punct \(\mathbf{x}\) și centrul de masă al unui set de exemple
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    într-un spațiu de caracteristici definit de kernelul \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\), în termeni de evaluări ale kernelului.

[2 puncte]

  1. Folosind rezultatul de la punctul 1, dați pseudocod pentru algoritmul de detectare a noutății (novelty detection) care etichetează un punct de test ca fiind nou dacă acesta se află în afara celei mai mici sfere centrate în centrul de masă care conține toate datele de antrenare.

[3 puncte]

  1. Arătați că, dacă eliminăm un punct \(\mathbf{x}_j\) din \(S\), centrul de masă se deplasează îndepărtându-se de \(\phi(\mathbf{x}_j)\) pe dreapta care pornește din \(\phi(\mathbf{x}_j)\) și trece prin centrul de masă, cu o distanță egală cu \(\frac{1}{m-1}\) din distanța dintre ele.

[3 puncte]

  1. De aici sau prin altă metodă, arătați că metoda de detectare a noutății care utilizează același centru ca la punctul 2, dar mărește raza sferei cu un factor \(\frac{m}{m-2}\), asigură că eroarea leave-one-out (o eroare apare dacă punctul eliminat nu se află în interiorul sferei) pe setul de antrenare este cel mult 1.

[5 puncte]

[Total 13 puncte]