Задача 7
  1. Выразите расстояние от образа точки \(\mathbf{x}\) до центра масс множества примеров
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    в пространстве признаков, заданном ядром \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\), через вычисления ядра.

[2 балла]

  1. Используя результат пункта 1, приведите псевдокод алгоритма обнаружения новизны (novelty detection), который помечает тестовую точку как новую, если она лежит вне наименьшей сферы с центром в центре масс, содержащей все обучающие данные.

[3 балла]

  1. Покажите, что если удалить одну точку \(\mathbf{x}_j\) из \(S\), то центр масс смещается от \(\phi(\mathbf{x}_j)\) вдоль прямой, проходящей от \(\phi(\mathbf{x}_j)\) через центр масс, на величину, равную \(\frac{1}{m-1}\) расстояния между ними.

[3 балла]

  1. Следовательно (или иным способом) покажите, что метод обнаружения новизны, использующий тот же центр, что и в пункте 2, но увеличивающий радиус сферы в \(\frac{m}{m-2}\) раз, гарантирует, что ошибка leave-one-out (ошибка возникает, если исключённая точка не лежит внутри сферы) на обучающем множестве не превышает 1.

[5 баллов]

[Всего 13 баллов]