Zadatak 7
  1. Izrazite rastojanje slike tačke \(\mathbf{x}\) od centra mase skupa primera
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    u prostoru osobina definisanom kernelom \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) pomoću vrednosti kernela.

[2 poena]

  1. Koristeći rezultat iz tačke 1, napišite pseudokod za algoritam detekcije novina (novelty detection) koji označava test tačku kao novu ako se nalazi izvan najmanje sfere sa centrom u centru mase koja sadrži sve podatke za obuku.

[3 poena]

  1. Pokažite da, ako uklonimo jednu tačku \(\mathbf{x}_j\) iz skupa \(S\), centar mase se pomera dalje od \(\phi(\mathbf{x}_j)\) duž prave koja vodi od \(\phi(\mathbf{x}_j)\) kroz centar mase za \(\frac{1}{m-1}\) puta rastojanje između njih.

[3 poena]

  1. Otuda, ili na drugi način, pokažite da metoda detekcije novina koja koristi isti centar kao u tački 2, ali povećava poluprečnik sfere za faktor \(\frac{m}{m-2}\), obezbeđuje da je leave-one-out greška (greška nastaje ako izostavljena tačka nije unutar sfere) na trening skupu najviše 1.

[5 poena]

[Ukupno 13 poena]