任务 7
  1. 在由核函数 \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) 所定义的特征空间中，给定样本集合
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    用核函数的计算形式表示点 \(\mathbf{x}\) 的映射像与该样本集合质心之间的距离。

[2 分]

  1. 利用第 1 问的结果，给出新颖性检测（novelty detection）算法的伪代码：当测试点位于以质心为中心、且包含所有训练数据的最小球体之外时，将其标记为“新颖”。

[3 分]

  1. 证明：如果从集合 \(S\) 中移除一个点 \(\mathbf{x}_j\)，则质心将沿着从 \(\phi(\mathbf{x}_j)\) 指向原质心的直线方向，远离 \(\phi(\mathbf{x}_j)\) 移动，其移动距离为两者之间距离的 \(\frac{1}{m-1}\) 倍。

[3 分]

  1. 由此或用其他方法证明：若在第 2 问中使用相同的质心，但将球体半径扩大为原来的 \(\frac{m}{m-2}\) 倍，则可保证在训练集上的留一法（leave-one-out）误差（即若被移除的点不在球体内则视为一次错误）最多为 1。

[5 分]

[总计 13 分]