Tarea 7
  1. Exprese la distancia de la imagen de un punto \(\mathbf{x}\) al centro de masa de un conjunto de ejemplos
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    en un espacio de características definido por el kernel \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) en términos de evaluaciones del kernel.

[2 puntos]

  1. Usando el resultado del punto 1, proporcione pseudocódigo para el algoritmo de detección de novedad que etiqueta un punto de prueba como novedoso si se encuentra fuera de la esfera más pequeña, centrada en el centro de masa, que contiene todos los datos de entrenamiento.

[3 puntos]

  1. Demuestre que si eliminamos un punto \(\mathbf{x}_j\) de \(S\), el centro de masa se desplaza alejándose de \(\phi(\mathbf{x}_j)\) sobre la recta que va desde \(\phi(\mathbf{x}_j)\) pasando por el centro de masa, en una cantidad igual a \(\frac{1}{m-1}\) veces la distancia entre ambos.

[3 puntos]

  1. Por lo tanto, o de otro modo, muestre que el método de detección de novedad, usando el mismo centro que en el punto 2 anterior pero aumentando el radio de la esfera en \(\frac{m}{m-2}\), garantiza que el error leave-one-out (se produce un error si el punto dejado fuera no está dentro de la esfera) en el conjunto de entrenamiento es como máximo 1.

[5 puntos]

[Total 13 puntos]