Uppgift 7
  1. Uttryck avståndet mellan bilden av en punkt \(\mathbf{x}\) och masscentrum för en mängd exempel
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    i ett funktionsrum definierat av kärnan \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) i termer av kärnutvärderingar.

[2 poäng]

  1. Använd resultatet från punkt 1 och ge pseudokod för en nyhetsdetekteringsalgoritm som märker en testpunkt som ny om den ligger utanför den minsta sfär med centrum i masscentrum som innehåller all träningsdata.

[3 poäng]

  1. Visa att om vi tar bort en punkt \(\mathbf{x}_j\) från \(S\), så förflyttas masscentrum bort från \(\phi(\mathbf{x}_j)\) längs linjen från \(\phi(\mathbf{x}_j)\) genom masscentrum med \(\frac{1}{m-1}\) gånger avståndet mellan dem.

[3 poäng]

  1. Visa därav, eller på annat sätt, att nyhetsdetekteringsmetoden som använder samma centrum som i punkt 2 ovan men ökar sfärens radie med \(\frac{m}{m-2}\) säkerställer att leave-one-out-felet (ett fel uppstår om den utelämnade punkten inte ligger inuti sfären) på träningsmängden är högst 1.

[5 poäng]

[Totalt 13 poäng]