任務 7
  1. 以核函數評估的形式，表示點 \(\mathbf{x}\) 的映射與一組樣本
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    之質心在特徵空間中的距離；該特徵空間由核函數 \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) 所定義。

[2 分]

  1. 使用第 1 題的結果，給出新穎性偵測演算法的偽代碼：若測試點位於以質心為中心、且包含所有訓練資料的最小球體之外，則將其標記為新穎。

[3 分]

  1. 證明：若我們從 \(S\) 中移除一個點 \(\mathbf{x}_j\)，則質心會沿著從 \(\phi(\mathbf{x}_j)\) 指向並穿過原質心的直線，遠離 \(\phi(\mathbf{x}_j)\) 移動，其位移大小為兩者距離的 \(\frac{1}{m-1}\) 倍。

[3 分]

  1. 因此，或以其他方式證明：新穎性偵測方法在第 2 題中使用相同的中心，但將球體半徑增加 \(\frac{m}{m-2}\) 倍，可確保在訓練集上的留一法（leave-one-out）錯誤（若被留出的點不在球內則視為錯誤）至多為 1。

[5 分]

[總分 13 分]