Завдання 7
  1. Виразіть відстань образу точки \(\mathbf{x}\) від центра мас множини прикладів
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots,\mathbf{x}_m\}
    \]
    у просторі ознак, заданому ядром \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\), через значення ядра.

[2 бали]

  1. Використовуючи результат з пункту 1, наведіть псевдокод алгоритму виявлення новизни, який позначає тестову точку як нову, якщо вона лежить поза найменшою сферою з центром у центрі мас, що містить усі навчальні дані.

[3 бали]

  1. Покажіть, що якщо вилучити одну точку \(\mathbf{x}_j\) з \(S\), то центр мас відсувається від \(\phi(\mathbf{x}_j)\) уздовж прямої, що йде від \(\phi(\mathbf{x}_j)\) через центр мас, на \(\frac{1}{m-1}\) відстані між ними.

[3 бали]

  1. Отже, або іншим способом, покажіть, що метод виявлення новизни, який використовує той самий центр, що й у пункті 2, але збільшує радіус сфери на \(\frac{m}{m-2}\), гарантує, що leave-one-out помилка (помилка трапляється, якщо вилучена точка не лежить усередині сфери) на навчальній вибірці не перевищує 1.

[5 балів]

[Усього 13 балів]