Bài 7
  1. Biểu diễn khoảng cách từ ảnh của một điểm \(\mathbf{x}\) đến tâm khối lượng của tập các mẫu
    \[
    S = \{\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_m\}
    \]
    trong không gian đặc trưng được xác định bởi kernel \(\kappa(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = \langle \phi(\mathbf{x}), \phi(\mathbf{z})\rangle\) dưới dạng các phép đánh giá kernel.

[2 điểm]

  1. Sử dụng kết quả từ câu 1, hãy đưa ra mã giả (pseudocode) cho thuật toán phát hiện điểm mới (novelty detection) gán nhãn một điểm kiểm tra là “mới” nếu nó nằm ngoài hình cầu nhỏ nhất có tâm tại tâm khối lượng và chứa toàn bộ dữ liệu huấn luyện.

[3 điểm]

  1. Chứng minh rằng nếu ta loại bỏ một điểm \(\mathbf{x}_j\) khỏi \(S\), thì tâm khối lượng sẽ dịch chuyển ra xa \(\phi(\mathbf{x}_j)\) trên đường thẳng đi từ \(\phi(\mathbf{x}_j)\) qua tâm khối lượng, với độ lớn bằng \(\frac{1}{m-1}\) lần khoảng cách giữa chúng.

[3 điểm]

  1. Từ đó hoặc bằng cách khác, hãy chứng minh rằng phương pháp phát hiện điểm mới sử dụng cùng tâm như ở câu 2 nhưng tăng bán kính của hình cầu lên \(\frac{m}{m-2}\) lần sẽ đảm bảo rằng lỗi leave-one-out (xảy ra nếu điểm bị loại bỏ không nằm trong hình cầu) trên tập huấn luyện nhiều nhất là 1.

[5 điểm]

[Tổng 13 điểm]